ロジカルシンキング

統計サンプル数の決め方・度数分布表の階級数の決め方

 

統計サンプルの数やグラフ(ヒストグラム)の段階数を決めるときに役立つのが、「統計サンプル数を決める数式」です。

この記事では、統計の基礎的手法であるサンプリング数の取り方と、統計データの階級の取り方を紹介していきます。

以下のような人におすすめの記事になっています。

  • アンケート調査をするにあたって、適切なサンプリング数を知りたい
  • 統計データのきれいにまとめる方法を知りたい

 

統計サンプル数の決め方は?決めるための数式

統計サンプル数は、次の式から明らかにできます。

n = N / [ (ε/μ(α))2 × {(N-1)/ρ(1-ρ)} + 1 ]

n : 必要サンプル数
μ(α) : 信頼度100-αのときの正規分布の値、信頼度が高いほど高くなる。
通常は信頼度95%の1.96か、信頼度99%の2.58を使います。
N : 調査したい母集団の大きさ
ε : 精度(誤差)
ρ : 母比率(これは経験的に求めるか、最もnが大きくなる0.5を用います)

この式は、必要とする信頼度と精度によって、サンプル数が異なることを示します。

ある集団の傾向を掴むときに、その集団の数があまりに膨大だと、すべてを調査することは不可能です。

たとえば、10万人の集団の傾向を掴むためだからといって、10万人全員を調査することはできません。

そうすると、母集団の中からサンプルをいくつか抽出して、全体の傾向を分析する(サンプリング調査をする)のが一般的です。

しかし、10万人の集団に対してサンプル数が10人だと、いくらなんでもサンプル数が少なすぎると感じることでしょう。

そこで役に立つのが、上記の式なのです。

統計サンプル数を決めるのは母集団の大きさ、信頼度、精度

精度の誤差0%を目指すなら、εは0になるので、数式は以下のようになります。

n = N / [ 0 + 1 ] = N

つまり必要サンプル数nは、母集団と同じNになります。

数式によると、調査の信頼度μ(α)を大きくしても、必要サンプル数が大きくなるとわかります。

統計サンプル数の計算事例

10万人の町で、ある調査を実施する場合のサンプル数nを考えてみましょう。

このとき、信頼度を95%とすると、μ(α)=1.96 と、精度εには上下5%となる0.05を,ρ=0.5を採用するとします。

その場合、必要サンプル数は、次のように計算できます。

n = 100000 / [(0.05/1.96)2 × {(99999)/0.25)} + 1 ] = 383人

μ(α) : 信頼度95%で1.96
N : 調査したい母集団の大きさ 100,000人
ε : 精度(誤差) 5%
ρ : 母比率0.5

つまり、母集団10万人の傾向を調査するには、上下5%の誤差範囲で、95%の確からしさを許容するなら、400人の調査で十分なのです。

統計の妥当なサンプル数は?

実は、母集団が10万人以上、たとえば100万人や1000万人であっても、400人も調査をすれば十分です。

先ほどの誤差5%、信頼性95%のまま母集団の数を変えると、必要サンプル数は以下のように計算できます。

母集団1000人1万人10万人100万人1000万人
サンプル数278人379人383人384人384人

条件
μ(α) : 信頼度95%で1.96
ε : 精度(誤差) 5%
ρ : 母比率0.5

この結果から、母集団1万人であっても、1000万人であっても、母集団の傾向を誤差5%、95%の確からしさで調査する場合、400人程度の調査をすれば十分だということがわかります。

※あくまでサンプリングの偏りがないことが前提になります。

さらに、信頼性を高めるために誤差3%で考えると、以下のとおりです。

母集団1000人1万人10万人100万人1000万人
サンプル数516人964人1056人1065人1067人

条件
μ(α) : 信頼度95%で1.96
ε : 精度(誤差) 3%
ρ : 母比率0.5

10万人以上の母集団に対して3%の精度で統計をとるなら、1000人くらいで十分だということです。

人口約927万人の東京都を母集団として誤差3%程度で傾向分析するなら、1,000~2,000人もサンプリングしておけば十分に信頼に足る統計データだといえるでしょう。

 

度数分布表における最適な数値範囲と階級の数

あるデータを、範囲ごとに区切って傾向を見たい場合には、度数分布表(ヒストグラム)を用います。

度数分布表とは、以下のように、ある範囲の数字が、どのくらいの数存在しているのかを示したグラフです。

この度数分布表を作るときに、考えるべきことがデータの範囲と階級、つまり数字をいくつで区切るか?ということです。

たとえば、次の50個のデータを度数分布表にすることを考えます。

78101011121213
1515151516161617
1718181818191920
2021222323242626
2728292929293030
3131313233353535
3539

このデータを適切な範囲と階級に分けるとき、どのようにすればよいでしょうか。

たとえば、直感的に5刻みで分けると次のように7つの階級に分けられます。(ちなみに、5刻みにしたのが、上記のグラフです)

範囲度数
5~104
11~158
16~2013
21~255
26~3010
31~359
36~401

ここで、階級数を粗くしすぎると全体感がぼやけてしまいますし、細かすぎると度数分布にする意味がなくなってしまうので、適切な範囲と階級で分ける必要があります。

そこで適切な範囲と階級を求める公式であるスタージェスの公式を使います。

スタージェスの公式を使うことで、次のように最適な範囲Cと階級Kを求められます。

範囲C = (サンプル最大値-サンプル最小値)/(1+log2(サンプル数))
階級K = 1 + log2(サンプル数)

先ほどの例で、スタージェスの公式を使うと範囲Cと階級Kは以下のようになります。

範囲C = 4.82
階級K = 6.64

つまり、範囲は4~5で刻み、階級は6~7にするのがよいということです。

スタージェスの公式を使うことで、大雑把に分けた範囲5と階級7で問題ないことが確認できました。

このように、スタージェスの公式を使うことで、度数分布表の範囲と階級を明確にできるのです。

 

まとめ

以上、アンケートなどで使うサンプリング数の決め方と、度数分布表における数値範囲と階級数の決め方でした。

  • 統計に必要となるサンプル数は数、式によって決められる。
  • 信頼度95%、誤差3%を許容した場合、1,000人強のサンプルがあれば、母集団1000万人の統計としても有効に機能する。(誤差5%まで許容すれば400人でも問題ない)
  • 度数分布表で数字の範囲と階級数を決める際には、スタージェスの公式が使える。