標準偏差とは？エクセルでの求め方【偏差値との関係も解説】

標準偏差とは、データのバラツキの度合いを表す指標です。

標準偏差が大きいほどデータ同士のバラツキが大きく、標準偏差小さいほどデータ同士のバラツキが小さいことになります。

たとえば、左の図と右の図を比較すると、平均値は同じですが、バラツキ度合いが異なるのが見た目にもわかります。

左図はバラツキ小さい＝標準偏差が小さくなり、右図はバラツキが大きい＝標準偏差が大きくなります。

このように、平均値が同じであっても、母集団のバラツキ度合いによって標準偏差は変わってくるのです。

この記事では、その標準偏差の計算式・求め方、標準偏差とリスクとの関係などを解説していきます。

加えて、標準偏差と関係が深く、学力テストでよく使われている「偏差値」についても解説していきます。

標準偏差の求め方・計算式

標準偏差は、各データの値と平均値の2乗の総和である「分散」の平方根をとったものです。

標準偏差は分散の平方根（ルート）として、次の計算式で表現できます。

分散とは各データと平均の差の2乗のことで、数値データがどのくらい上下にばらつているかを表す指標です。

分散は、以下の計算式から求められます。

分散が大きければ大きいほど、データが上下に大きくばらついていることを表します。

たとえば、以下のように5つのデータがある場合、分散は矢印の長さの2乗の総和になります。

2乗にすることで、平均値との差をすべて正の値で表せます。

しかし、分散のままだと単位が元の単位の2乗のままになってしまうので、分散の平方根をとることで元データの単位とあわせられます。

その分散の平方根が「標準偏差」となり、データのバラツキ度合いを表す指標として使われているのです。

標準偏差の数学的な意味は、「各データが平均値から標準的に標準偏差の分だけ離れているか」表す指標です。

たとえば、平均値100で標準偏差が20だとすると、各データが平均値100に対して標準的に20だけ離れていることを意味します。

標準偏差の計算例

実際に標準偏差の計算例を見てみましょう。

母集団Aと母集団Bに、以下のようにそれぞれ10個のデータがあるとします。

どちらの母集団も、平均値は4.1で同じですが、一見すると母集団Bの方がバラツキが大きく見えます。

分散から標準偏差を求める方法

標準偏差の計算式に従って、まず母集団Aと母集団Bの分散を求めてみます。

上記の計算から求めた分散の平方根をとると、以下のように標準偏差を計算できます

このように標準偏差を求めることにより、数値的にも母集団Bの方がバラツキが大きいことが定量的にわかるようになります。

エクセルで標準偏差を求める方法

エクセルを使う場合は、「STDEV関数」を使うことで、標準偏差を一発で求めることができます。

先ほどの例でみると、母集団Aの場合、以下表の一番左の数値5から一番右の数値4のところをSTDEV関数で選択すれば簡単に求められます。

実際にSTDEV関数を使って標準偏差を求めているのが、以下の画面です。

STDEV関数さえ知っていれば、分散をわざわざ求めなくても、ほんの数秒で標準偏差を計算できます。

標準偏差のビジネスにおける使い方：事例

標準偏差のビジネスでの活用事例を2つ紹介します。

品質管理をするとき

ある母集団が、平均値を頂点とした理想的な分布（正規分布）をしていると仮定した場合、標準偏差σは次のような意味を持ちます。

これを正規分布表を使って表すと、以下のようになります。

この考え方は、品質管理で応用されていて、品質管理では特に±3σが使われます。

たとえば、ある部品の寸法が100mmで、その設計上の許容差が±0.5mmだとして、部品を母集団から300個抜き取って、寸法を計測した結果、標準偏差σが0.1mmだとします。

この結果を見ると、部品の寸法がバラついて3σになっても、許容差の範囲内に入っているので、想定外の製造上のバラツキが起きても十分な余裕があると言えます。

（この事例のように、許容差と標準偏差から製造工程の能力的な余裕を示す指標を工程能力指数と言います。詳細を知りたい場合は、工程能力指数で検索してください。）

このように標準偏差は、品質管理をする上で重要な指標として製造現場で活用されているのです。

他にも、経営改善にも使われるシックスシグマ（6σ）のシグマも元は標準偏差・バラツキからきていて、正常な範囲を6σまで許容できるとエラーが起きる確率が100万分の3や4まで下げられるところからシックスシグマと名付けられています。

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リスクを定量的に評価するとき

ビジネスにおける定量分析の世界では、標準偏差のことをリスクといいます。

つまり、「リスクが大きい＝バラツキが大きい」ということになります。

たとえば、次のように将来3パターンのシナリオに分かれる投資機会Aがあるとします。

投資機会A

このとき、収益の期待値は次のようになります。

ここから標準偏差を求めるには、まず分散（標準偏差の2乗）を求めます。

分散の平方根をとると標準偏差は、以下のようになります。

これを期待値が同じ51万円になるような次の投資機会Bと比べてみます。

投資機会B

期待値が同じなので、投資機会Aでも投資機会Bでも、どちらに投資してもよさそうに見えますが、リスクの観点から比較してみると異なる結果になります。

投資機会Bの標準偏差を投資機会Aと同じように計算すると、以下のようになります。

つまり、投資機会Aと投資機会Bは全く期待値は同じですが、投資機会Bの方がよりリスクの低い投資だということがわかります。

このように標準偏差は、リターンに対するリスク分析としても活用できるのです。

標準偏差を活用した偏差値とは

標準偏差を使った指標のひとつとして、学力テストで出てくる偏差値があります。

偏差値とは、簡単に言うと、母集団の中で自分がどの程度の順位に位置しているかを示したものです。

偏差値の意味合い

仮に試験の点数が正規分布に従って分布している場合、偏差値と順位には次のような関係があります。

たとえば、試験を受験した人が10,000人いるとすると、偏差値70だと上位から228人に位置していることになり、偏差値65だと上位から668人に位置していることになります。

しかし、実際のテストの点数が完全な正規分布になることはまずないので、偏差値と順位の関係はあくまで目安として考える必要があります。

偏差値の求め方-エクセルで簡単に求められる

テストの点数の偏差値は、以下のように計算できます。

計算式を見てわかるように、テストの点数が平均点と同じであれば、偏差値は50になります。

たとえば、あるテストの分布が、以下のようになっていたとします。

このとき、エクセルのSTDEV関数を使って標準偏差を求めると、13.18になります。

標準偏差13.18と、上記の偏差値の式から、生徒A～Jの偏差値は次のように計算できます。

まとめ

以上、標準偏差の解説でした。